แรงโน้มถ่วง

นิวตันไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบแรงโน้มถ่วง เรื่องแรงโน้มถ่วงมีการค้นคว้ามาก่อนสมัยของเขา สิ่งที่เขาค้นพบคือค้นพบว่าแรงโน้มถ่วงเป็นแรงสากลที่มีทั่วไปทั้งจักรวาล ไม่ได้มีแต่บนโลกของเรา

อะลิสโตเติลกล่าวว่าการเคลื่อนที่เป็นวงกลมบนท้องฟ้าเกิดขึ้นบนสวรรค์ คนโบราณเข้าใจว่าการเคลื่อนที่ของดวงดาว ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ เคลื่อนที่เป็นวงกลม อิสระจากแรงใดๆ แต่คนโบราณบอกว่าการเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่สามารถอธิบายได้ และมีกฎอยู่ 2 อย่างคือกฎที่ควบคุมโลกและกฎความคุมสวรรค์

จนกระทั่งเซอร์ ไอแซค นิวตันค้นพบความจริงที่ว่าแรงที่ดึงดูดให้โลก และดวงดาวต่างๆอยู่ด้วยกันได้เนื่องจากแรงโน้มถ่วงและแรงโน้มถ่วงนี้เองที่เป็นแรงที่ทำดึงดูดให้ลูกแอปเปิลตกลงมาสู่พื้น นิวตันสร้างความสัมพันธ์ว่าแรงที่โลกดึงดูดแอปเปิล โลกดึงดูดดวงจันทร์ และกับวัตถุอื่นทั้งจักรวาลคือแรงดึงดูดเดียวกัน ซึ่งเราเรียกว่าแรงโน้มถ่วง ดังนั้นกฎของนิวตันจึงเป็นกฎเดียวที่สามารถอธิบายได้บนโลก และทั้งจักรวาล

กฎของแรงโน้มถ่วง (The Universal Law of Gravity)
นักศึกษาหนุ่มนิวตันกลับบ้านเกิดเพราะมหาวิทยาลัยปิดเนืื่องจากเกิดโรคระบาด  ที่บ้านเกิดซึ่งเป็นโรงนา  มีต้นแอปเปิดอยู่ต้นหนึ่ง  น้องสาวของนิวตันเล่าว่าเขาชอบที่จะไปนั่งใต้ต้นแอปเปิลนั้นแล้วคิดเรื่องปัญหาฟิสิกส์  

หนึ่งในปัญหาฟิสิกส์ซึ่งเป็นปัญหายิ่งใหญในยุคนั้น (ประมาณ 300  ปีก่อน)  คือปัญหาเรื่องแรงโน้มถ่วง  ด้วยสติปัญญาอันล้ำลึกของนิวตันเขาเป็นคนแรกที่ค้นพบความจริงว่าแรงโน้มถ่วงเป็นแรงที่ทำให้ลูกแอปเปิลตกลงสู่พื้นและแรงเดียวกันนี้  ดึงดูดให้ดวงจันทร์ และดวงดาวบนท้องฟ้าโคจรร่วมกันเป็นระบบ   เป็นครั้งแรกที่มนุษย์ล่วงรู้ความลัพของสรวงสวรรค์ว่าแท้จริงแล้ว  วัตถุบนท้องฟ้าและวัตถุบนโลกสามารถอธิบายได้ด้วยกฎเดียวกัน

ตามตำนาน นิวตันนั่งอยู่ใต้ต้นแอปเปิลในขณะนั้นเขากำลังคิดหาคำตอบถึงธรรมชาติของแรงโน้มถ่วง เมื่อลูกแอปเปิลหล่นจากต้น เขามองมาที่ลำต้นมายังกิ่งและขั้วของแอปเปิลจนกระทั่งลูกแอปเปิลตกลงมาทำให้นิวตันเห็นความสัมพันธ์ว่าแรงที่ดึงลูกแอปเปิลตกลงมาสู่พื้นกับแรงที่ดึงดูดที่ดึงดูดดวงจันทร์ให้โคจรรอบโลกเป็นแรงเดียวกัน นั่นคือแรงโน้มถ่วง

เพื่อทำการทดสอบสมมุติฐาน นิวตันเปรียบเทียบการตกของแอปเปิลกับการตกของดวงจันทร์แต่การตกของด้วงจันทร์เป็นแนวเส้นโค้ง

หลังจากที่เขาค้นพบทฤษฏีแรงโน้มอันสวยงาม หลังจากนั้น 20 ปีเขากลับไปศึกษาเรื่องทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต หลังจากนั้นในปี 1680 เขากลับมาศึกษาเรื่องดาวหางอีกครั้งแล้วอีก 2 ปีต่อมาเขากลับไปศึกษาเรื่องดวงจันทร์อีกครั้งซึ่งได้รับการสนับสนุนจากเพื่อนของเขา เอดมัน ฮัลเลย์ เขาใช้ผลจากบันทึกที่ได้จากการดูดาวแล้วนำมาคำนวณตามกฎแรงโน้มถ่วง ผลที่ได้น่าพอใจมาก

วัตถุทุกอย่างดึงดูดกันและกัน แรงดึงดูดนี้คือแรงโน้มถ่วงซึ่งมีค่ามากถ้าวัตถุมีมวลมาก และแรงโน้มถ่วงน้อยลงเมื่อระยะห่างมากขึ้น ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

ค่าคงที่โน้มถ่วงสากล G (The Universal Gravitational Constant, G)

เมื่อมีกฎแรงโน้มถ่วงค่าคงที่โน้มถ่วงสากล G ในตอนแรกถูกสร้างขึ้นมาโดยนิวตัน แต่ยังไม่ทราบว่ามีค่าเท่าไร ถ้ามวลแต่ละอันมีขนาด 1 kg และห่างกัน 1 mจะได้แรงโน้มถ่วงเป็น 0.0000000000667 N ซึ่งเท่ากับค่าคงที่โน้มถ่วงสากล

การทดลองหาค่าคงที่โน้มถ่วงสากล

หลังจากนิวตันเสียชีวิตไปแล้ว 70 ปี  นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ เฮนรี่ คาเวนดีช (Henry Cavendish) สามารถวัดค่า G ได้หลังยุคของนิวตันหลายปี ศัตรวรรษที่ 18 เขาวัดค่าแรงโน้มถ่วงอันน้อยนิดได้ด้วยคานที่มีความไวต่อการเปลี่ยนแปรงมากๆและถ่วงคานทั้งสองข้างด้วยลูกตุ้มหนัก 6 ตัน อุปกรณ์ทั้งหมดอยู่ในครอบแก้ว

แรงโน้มถ่วงระหว่างมวลสองอันวัดได้โดยให้วัตถุตึงดูดกัน ค่า m₁ และ m₂ ค่าระยะ R ทำให้หาค่าคงที่โน้มถ่วงสากลได้

เมื่อค่า G เป็นแรงที่อ่อนมากๆ เป็นแรงพื้นฐานที่อ่อนที่สุด (แรงอีกสามอย่างที่เหลือคือ แรงแม่เหล็กไฟฟ้าแรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม แรงนิวเคลียร์อย่างอ่อน)

ถ้าเรายืนอยู่ในเรือ แรงโน้มถ่วงระหว่างเรากับเรือก็มีแต่ยังน้อยกว่าแรงโน้มถ่วงที่เรามีต่อโลก แรงโน้มถ่วงที่เรามีต่อโลกนี้เราสามารถวัดได้นั่นก็คือน้ำหนักของเรานั่นเอง

น้ำหนักของเราขึ้นอยู่กับมวลของเรา ถ้ามวลมากน้ำหนักก็มาก แต่ถ้าเราขึ้นยานอวกาศออกห่างจากโลกไปเรื่อยๆน้ำหนักของเราจะลดลง จนกระทั่งออกห่างจากโลกมากๆก็จะกลายเป็นสภาวะไร้น้ำหนัก

ถ้าเรารู้ค่า G ก็สามารถวัดค่าน้ำหนักของโลกได้อย่างง่ายดาย แรงโน้มถ่วงของโลกที่มีต่อมวล 1 kgที่ผิวโลก 9.8 N ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางโลก6.4×10⁶

เมื่อค่าคงที่โน้มถ่วง ให้ m₁ คือมวล 1 kg และ m₂ คือมวลของโลก

สรุปได้ว่ามวลโลกคือ 6.4×10⁶ ในยุคนั้นการวัดค่า Gได้เป็นครั้งแรงทำให้ผู้คนสนใจมาก หนังสือพิมพ์ทุกๆฉบับพาทหัวข่าวเรื่องการวัดมวลของโลก สมการของนิวตันเป็นสมการที่น่าตื่นเต้น ทำให้เรารู้มวลของภูเขา มหาสมุทร และทุกสิ่งทุกอย่างบนโลกใบนี้

ภาพการทดลองของคาเวนดีช ณ ห้องทดลองในเคมบริด ประเทศอังกฤษ

น้ำหนักและสภาวะไร้น้ำหนัก (Weight and Weightlessness)

เมื่อเราชั่งน้ำหนักนำหนักของเราจะไปกดสปริงในตาชั่ง แล้วสปริงก็ดันให้เข็มบอกน้ำหนักของเรา ขณะที่เราชั่งน้ำหนักเราและเครื่องชั่งอยู่นิ่งน้ำหนักที่ได้เท่ากับน้ำหนักจริงของเรา

แต่ถ้าเราชั่งน้ำหนักบนลิฟ เมื่อลิฟขึ้นเราจะหนักเพิ่มขึ้นแต่ถ้าลิฟลงเราจะเบาลง แต่ถ้าลิฟตกร่วงลงมาเราจะอยู่ในสภาวะไร้น้ำหนักเพราะไม่มีแรงกระทำกับเครื่องชั่ง

มนุษย์อวกาศซึ่งอยู่ในสถานีอวกาศอยู่ในสภาวะไร้น้ำหนัก ทำให้ทุกอย่างล่องลอยไปมาในสถานีอวกาศกล้ามเนื้อของมนุษย์อวกาศจะค่อยๆอ่อนแอลงเพราะไม่ได้ออกแรงต้านกับแรงโน้มถ่วง

 ลิฟนิ่ง ลิฟขึ้น ลิฟลง ลิฟตก ตามลำดับ

น้ำขึ้นนำลงของมหาสมุทร (Ocean Tides)

นิวตันอธิบายว่าน้ำขึ้นน้ำลงเกิดจากแรงโน้มถ่วงระหว่างโลกกับดวงจันทร์ น้ำขึ้นน้ำลงจากแรงโน้มถ่วงของโลกด้านใกล้ดวงจันทร์มากกว่าด้านไกลดวงจันทร์เนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะน้อยลงถ้าระยะห่างอยู่ห่างออกไป

เพื่อจะตอบปัญหาว่าเหตุใดแรงโน้มถ่วงซึ่งดึงเข้าหาดวงจันทร์ใดด้านไกลดวงจันทร์ ทำไมจึงทำให้เกิดน้ำขึ้นได้ ให้เรานึกถึงลูกโป่งใส่น้ำกลมๆอันหนึ่งถ้าเราออกแรงดึงมันทุกทิศทางมันจะขยายออกเป็นทรงกลมเหมือนเดิม ถ้าออกแรงสองแรงไปด้านเดียวกัน แต่ออกแรงด้านหนึ่งมากกว่าอีกด้าน ลูกบอลจะกลายทรงรี ซึ่งก็เหมือนกับโลกเรามีแรงน้ำขึ้นน้ำลงออกไปสองด้านตรงกันข้ามนั่นเอง

แรงน้ำขึ้นน้ำลงคือแรงสู่ศูนย์กลาง ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ระหว่างดวงจันทร์กับโลก น้ำขึ้นนำลงจะสูงขึ้น 1 mจากระดับน้ำทะเล โลกหมุนรอบตัวเอง 1 รอบต่อหนึ่งวันเมื่อโลกหมุนด้านหน้าไปหาจุดน้ำขึ้นก็จะเกิดน้ำขึ้นครั้งแรก จากนั้นโลกก็หมุนด้านหลังผ่านจุดน้ำขึ้นอีกจึงมีน้ำขึ้น 2 ครั้งต่อวัน

ดวงจันทร์โคจรและอยู่ตำแหน่งเดิมทุก 24 ชั่วโมง 50 นาที ทำให้น้ำขึ้นน้ำลงแต่ละวันเกิดขึ้นในเวลาต่างกัน

 น้ำขึ้นน้ำลง

น้ำขึ้นน้ำลงเกิดจากแรงโน้มถ่วงระหว่างน้ำบนโลกกับดวงจันทร์

ดวงอาทิตย์มีผลต่อน้ำขึ้นน้ำลง ถึงแม้ว่าจะมีน้อยเนื่องจากดวงอาทิตย์อยู่ไกลมาก คือมีผลต่อความสูงของน้ำขึ้นน้ำลง 3 %

 น้ำขึ้นสูงที่สุดเมื่อพระจันทร์เต็มดวง

น้ำขึ้นต่ำที่สุดเมื่อพระจันทร์ครึ่งดวง

เมื่อดวงจันทร์ครึ่งเสี้ยวแรงโน้มถ่วงของดวงจันทร์กับดวงอาทิตย์จะหักล้างกัน ทำให้น้ำขึ้นน้ำลงลดต่ำลงกว่าปกติ และน้ำขึ้นน้ำลงจะสูงกว่าปกติในวันเดือนดับและวันพระจันทร์เต็มดวงเนื่องจากได้รับแรงโน้มถ่วงเสริมจากดวงอาทิตย์

น้ำขึ้นน้ำลงในบรรยากาศ (Tides in Atmosphere)

เราอาศัยอยู่ที่ใต้มหาสมุทรของอากาศ ซึ่งบรรยากาศที่ห่อหุ้มเรามีแรงแบบน้ำขึ้นน้ำลงด้วย แต่เนื่องจากเราอยู่ใต้มหาสมุทรแห่งอากาศเราจึงไม่รู้สึก

ที่บรรยากาศชั้นบนคือไอโอโนสเฟีย เป็นบรรยากาศชั้นสูง ชื่อของชั้นนี้ได้จากการที่มันเต็มไปด้วยไอออน ซึ่งเกิดจากการแตกตัวของอากาศเมื่อชนกับรังสีอัลตราไวโอเลตและรังสีคอสมิก แรงน้ำขึ้นน้ำลงทำให้เกิดกระแสแม่เหล็ก ที่ควบคุมไม่ให้รังสีคอสมิกทะลุผ่านมายังบรรยากาศชั้นล่าง

น้ำขึ้นน้ำลงบนดวงจันทร์ (Tides on the Moon)

มีน้ำขึ้นน้ำลงสองครั้งใน 1 วัน เกิดขึ้นบนดวงจันทร์เหมือนกับที่เกิดขึ้นบนโลก แรงดึงดูดสองด้านที่ไม่เท่ากันนี้ทำให้ดวงจันทร์ถูกดึงกลายเป็นรูปทรงรี โดยมีรัศมีด้ายยาวชี้มาทางโลก และแรงดึงดูดน้ำขึ้นน้ำลงบนดวงจันทร์เกิดขึ้นที่เดิมตลอดเวลา

ดวงจันทร์ใช้เวลา 27.3 วันในการหมุนรอบตัวเอง และหันด้านเดียวเข้าหาโลกตลอดเวลา

เนื่องจากจุดศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงอยู่ตำแหน่งใกล้เคียงจุดศูนย์กลางมวล แรงดึงดูดจากโลกสร้างทอร์คเพื่อบิดให้แนวแกนยาวของดวงจันทร์ชี้มาทางโลก ยึดให้หน้า ของดวงจันทร์หันด้านเดียวมายังโลก และโลกก็หันด้านเดียวไปยังดวงจันทร์เช่นกัน

สนามแรงโน้มถ่วง (Gravitational Fields)

โลกและดวงจันทร์ดึงดูดซึ่งกันและกัน แรงโน้มถ่วงเป็นแรงระยะไกล เราสามารถมองอีกอย่างได้ว่าอวกาศรอบโลกเกิดสนามโน้มถ่วงเนื่องจากมวลของโลก สนามโน้มถ่วงเป็นแรงระหว่างมวล

สนามโน้มถ่วงเป็นตัวอย่างหนึ่งของสนามแรง มีลักษณะคล้ายสนามแม่เหล็กซึ่งกระจายล้อมรอบก้อนแม่เหล็กส่วนที่เส้นแรงแม่เหล็กถี่ๆใกล้ก้อนแม่เหล็กคือสนามแม่เหล็กความเข้มสูง

สนามโน้มถ่วงสามารถเขียนเป็นเส้นรอบโลกคล้ายเส้นแรงแม่เหล็ก สนามโน้มถ่วงมีความเข้มสูงที่ผิวโลกส่วนใดที่มีแหล่งก๊าซธรรมชาติเป็นโพรงใต้ผิวโลก ส่วนนั้นจะมีสนามโน้มถ่วงที่ต่ำกว่าพื้นที่อื่นเล็กน้อยนักสำรวจทางธรณีจึงสนใจวัดความเข้มของสนามโน้มถ่วงเพื่อแสวงหาแหล่งทรัพยากรธรรมชาติ

สนามแรงโน้มถ่วงของดาวเคราะห์ (Gravitational Field Inside a Planet)

สนามโน้มถ่วงในแกนโลกมีที่ตำแหน่งต่างๆมีค่าไม่เท่ากัน ถ้าเราเจาะอุโมงค์ทะลุโลกเราจะเคลื่อนที่แกว่งกลับไปกลับมาระหว่างขั้วโลกเหนือใต้เนื่องจากที่ผิวโลกมีแรงโน้มถ่วงดึงให้วัตถุสั่นกลับไปกลับมาเที่ยวละ 45 นาที ถ้าไม่มีแรงต้านอากาศวัตถุจะแกว่งกลับมาไม่มีวันหยุด

อัตราเร่งในการเคลื่อนที่ a จะลดลงเมื่อตกลงมายังใจกลางโลกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจากขั้วโลกเหนือสมดุลกับแรงโน้มถ่วงจากขั้วโลกใต้ทำให้แรงลัพธ์เป็นศูนย์ วัตถุจะลอยนิ่งเมื่ออยู่ที่ใจกลางโลก และสนามโน้มถ่วงที่ใจกลางโลกเป็นศูนย์

กฎของไอน์สไตน์เรื่องแรงโน้มถ่วง (Einstein's Theory of Gravitation)

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แบบจำลองแรงโน้มถ่วงต่างออกไปจากแบบจำลองของนิวตันมาก แบบจำลองใหม่นี้ค้นพบโดยไอน์สไตน์ โดยทฤษฎีสัมพัธภาพ ไอน์สไตน์สร้างสนามโน้มถ่วง 4 มิติซึ้งได้แก่ กว้าง ยาว สูง และเวลา เขาให้คำจำกัดความว่ามวลสารทำให้มิติกว้าง ยาว สูง และเวลาบิดเบี้ยวไป เหมือนกับตอนที่เรานั่งลงบนที่นอนแล้วเบาะนอนบุบโค้งเป็นรูปกระทะ ยิ่งน้ำหนักมากเบาะยิ่งบุบโค้งเป็นรูปกระทะอันใหญ่ ถ้าเพื่อเรากลิ้งลูกแก้วห่างจากตัวเราที่กำลังนั่งอยู่บนเบาะลูกแก้วนั้นจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงต่อไป แต่ถ้าลูกบอลกลิ้งผ่านใกล้ตัวเราลูกแก้วจะโคจรเป็นวงกลมรอบตัวเรา เหมือนที่ดวงจันทร์โคจรรอบโลก

ถ้ามองตามความคิดของนิวตัน ดวงจันทร์โคจรรอบโลกได้เพราะมีแรงดึงดูดดึงไว้เหมือนกับการผูกเชือกกับก้อนหินแล้วแกว่ง แต่ถ้ามองตามความคิดของไอน์สไตน์ดวงจันทร์โคจรรอบโลกเพราะดวงจันทร์อยู่ภายใต้สนามโน้มถ่วง 4 มิติ ความจริงแล้วถึงแม้ว่าทฤษฎีของไอน์สไตน์จะถูกต้องแม้นยำกว่าของนิวตัน แต่ในทางปฏิบัตินิยมใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันมากกว่าเนื่องจากคำนวลง่ายกว่าสนามโน้มถ่วงของไอน์สไตน์อย่างมาก

หลุมดำ (Black Holes)

สมมุติว่าเราอยู่ในยานอวกาศที่กำลังลงจอดบนพื้นผิวดาว น้ำหนักของเราจะขึ้นอยู่กับมวลของเราและมวลของดาวดวงนั้น ถ้าดวงดาวหดลงครึ่งหนึ่งแต่มวลยังเท่าเดิมน้ำหนักเราจะเพิ่มขึ้น 4 เท่าตามกฎแรงโน้มถ่วงที่ว่าระยะทางผกผันกำลังสอง ทำให้แรงโน้มถ่วงมากขึ้นเมื่อรัศมีจากจุดศูนย์กลางมวลถึงมวลแต่ละอันลดลง ถ้าดวงดาวมีขนาดลดลง 10 เท่า จะทำให้นำหนักเราเพิ่มขึ้น 100 เท่า ดวงดาวดังลักษณะนี้ต้องใช้ยานที่มีอัตราเร็วสูงมากจึงจะทำให้หลุดพ้นจากแรงโน้มไปสู่อวกาศได้ ถ้าดวงดาวอย่างดวงอาทิตย์ของเรายุบตัวลง 3 km จะทำให้วัตถุที่หยุดพ้นมันได้ต้องมีอัตราเร็วแสง

ถ้าดวงดาวมีขนาดลดลง 10 เท่า จะทำให้นำหนักเราเพิ่มขึ้น 100 เท่า  ความจริงแล้วดวงอาทิตย์ของเรามีมวลน้อยไม่สามารถยุบตัวลงได้ แต่สำหรับดวงอาทิตย์ที่ใหญ่เป็น 1.5 เท่าของดวงอาทิตย์ของเรา มีโอกาสยุบตัวทำให้แรงโน้มถ่วงเพิ่มขึ้นมหาศาล จนไม่มีวัตถุใดหลุดพ้นจากอำนาจโน้มถ่วงได้ แม้กระทั้งแสง ทำให้เกิดปรากฏการณ์นี้ว่าหลุมดำ   เราจะค้นพบหลุมดำได้อย่างไร ในเมื่อมันไมมีแสงออกมาเลย เราอาศัยดูดาวรอบข้างว่าโดนหลุมดำดูดเข้าไปหรือไม่

แรงโน้มถ่วงสากล (Universal Gravitation)

เรารู้ว่าโลกเป็นทรงกลม แต่ทำไมโลกต้องกลมด้วยหละ? ฮา ฮา ฮา ถามแปลกนักวิทยาศาสตร์ของเรามักตั้งคำถามแปรกเพื่อไขความลับของธรรมชาติ เนื่องจากการเคลื่อนที่เข้าหาดวงหาดวงดาวจะเคลื่อนที่พุ่งมายังดาวนั้น และแรงโน้มถ่วงดูดโลกให้เข้าหาศูนย์กลางเท่ากันทุกด้านจึงทำให้โลกกลม

แรงโน้มถ่วงเป็นตามสมการนี้

เมื่อ F คือแรงโน้มถ่วง G คือค่าความโน้มถ่วงสากล m₁ คือมวลที่ 1 m₂ คือมวลที่ 2 และ R คือรัศมีวงโคจร

ตารางเปรียบเทียบค่าความเร่งโน้มถ่วงของดาวต่างๆ
ดาว	มวล [kg]	รัศมี [m]	ความเร่งโน้มถ่วง  (g) [m/s²]	g / g-Earth
Sun	1.99 x 1030	6.96 x 108	274.13	27.95
Mercury	3.18 x 1023	2.43 x 106	3.59	0.37
Venus	4.88 x 1024	6.06 x 106	8.87	0.90
Earth	5.98 x 1024	6.38 x 106	9.81	1.00
Moon	7.36 x 1022	1.74 x 106	1.62	0.17
Mars	6.42 x 1023	3.37 x 106	3.77	0.38
Jupiter	1.90 x 1027	6.99 x 107	25.95	2.65
Saturn	5.68 x 1026	5.85 x 107	11.08	1.13
Uranus	8.68 x 1025	2.33 x 107	10.67	1.09
Neptune	1.03 x 1026	2.21 x 107	14.07	1.43
Pluto	1.40 x 1022	1.50 x 106	0.42	0.04

ดาวส่วนใหญ่ที่เราระบุข้อมูลตามตารางด้านบน  เราไม่ได้ไปเหยียบ  และมีข้อมูลแต่เพียงการสำรวจด้วยยานสำรวจอวกาศและดูเส้นทางการโคจรจากกล้องดูดาวแล้วเราทราบได้อย่างไรว่ามวลของดาวแต่ละดวงมีค่าเท่าไร  หลายๆคนคงสงสัยขึ้นมา  ความจริงแล้วเราสามารถนำกฎข้อที่ 3 ของเคปเลอร์  มาประยุกต์กับกฎของนิวตันเพื่ออธิบายมวลของดวงดาวได้  

จากกฎข้อที่ 3 ของเคปเลอร์

กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน

ขอละวิธีการพิสูจน์ไว้นะคะ  เพราะต้องใช้สมการแคลคูลัสชั้นสูงประกอบการอธิบาย  แต่ในบทความนี้เน้นอธิบายเฉพาะระดับมัธยม  สรุปเป็นสมการเพื่ออธิบายน้ำหนักของดวงดาวได้ดังสมการ

เมื่อ M คือ มวลของดวงดาว

r  คือรัศมีวงโคจร

G คือค่าความเร่งโน้มถ่วงสากล 

T  คือคาบการโคจร